基于马达代数的机械臂运动学建模
                                                何丽媛，陈志明，赵〓萍
                                   (南京航空航天大学航天学院，江苏 南京〓210016)

     针对齐次变换矩阵法和旋量法在机械臂运动学建模中所具有的计算量大、实时性差等局限性，提出一种基于马达代数的机械臂运动学建模与分析方法。该方法通过以点、直线、平面实体作为变换基元，对机械臂末端效应器坐标系中表达的特定几何实体进行空间变换，求出末端效应器坐标系相对于基坐标系的马达代数变换量，从而推导出机械臂运动方程。同时将马达代数引入到机械臂逆运动学求解中，提出了一个求解逆运动学问题的有效方法——交会法。最后以5自由度机械臂为例，验证了新算法的正确性与精确性。


    机械臂的运动学建模分为两类，一类是已知机械臂的关节参数，计算末端效应器坐标系相对于基坐标系的位姿的问题，这类问题是机械臂的运动学正问题；另一类是机械臂的运动学逆问题，即已知末端效应器坐标系相对于基坐标系的期望位姿，计算一系列满足期望要求的关节参数。通常情况下，机械臂运动学建模采用基于DenavitHartenberg (DH)参数齐次变换矩阵法和旋量法。齐次变换矩阵法相对比较成熟，它适用于解决任意自由度的串联机器人的正运动学问题。但在解决逆运动学问题时，自由度的增加会导致结果出现多组解的情形，即解析解难以获取,而且需要多次对变换矩阵求逆，计算量大，很难保证求解的实时性。旋量法中机械臂各关节坐标系相对于基座建立，且各连杆的旋量具有明确的几何意义，简化了机器人的运动学分析。文献［5］使用旋量法建立四自由度机器人运动学模型，并采用Paden-Kahan子问题方法求逆解，但缺点是该方法只能解决较低自由度机器人的逆解问题。而采用马达代数(motor algebra)表示机械臂末端效应器与基座之间的位姿关系，就可以建立机械臂的运动学模型。马达代数是Cliford在研究几何代数时所引入的一种新型数学建模工具。其基本思想主要是如果存在某个可以表示三维空间中物体的代数，并经过加、减、乘、除等线性运算后得到的代数结果仍然可以表示一个几何体，那么就可以通过这种代数直观地表示几何体的空间运动。马达代数是对偶四元数的扩充，其中“motor”是一种刚体运动方式，它是“moment”和 “vector”的合并缩略词。马达代数将Grassmann扩张代数、Hamilton四元数和复数统一起来，在计算时避免了多种几何代数语言之间的转换，可以直观地表达几何体的空间运动。文献［7］使用马达代数统一描述了交会对接任务中目标航天器与追踪航天器之间的相对位姿，相对于传统的向量代数描述方法，计算形式更为简洁。在机器人运动学建模领域，马达代数也有很高的应用价值。文献［8］研究了对偶四元数的空间位形表达和刚体变换的表达，运用对偶四元数的点变换对四足机器人的单腿进行正运动学分析，并在此基础上提出了马达代数可以用来求解机械臂运动学的想法。文献［9］采用马达代数建立人肩膀和手腕的万向节模型，研究和分析了三维伸展手臂的指向和轨迹跟踪。
基于以上研究，本文采用马达代数这一新型数学工具，以点、直线、平面实体作为变换基元，建立机械臂的运动学方程。该方法表达式较齐次变换矩阵法更加简洁直观，大大简化了计算，也可以用来表示一些复杂的机械臂关节。

1〓马达代数运动学的特点
1.1〓空间位形与刚体变换的马达代数的表达
马达代数作为几何代数的分支，可以看作四维......

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61403197)；江苏省自然科学基金资助项目(BK20130816,BK20140830)
作者简介：何丽媛（1992—），女，江苏南通人，南京航空航天大学硕士研究生，主要从事航天器在轨服务技术的研究。



（文章来源《机械设计与制造工程》杂志如需详细资料请联系江苏机械门户网客服QQ:2980918915,电话025-83726289）

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