双渐开线齿轮传动模态及谐响应分析
方志远，李海燕，许君君
(青岛科技大学机电工程学院，山东 青岛 266061)
摘要：利用有限元软件对双渐开线齿轮传动进行了有预应力和无预应力两种情况的自由模态分析和约束模态分析，得到其固有频率范围，并进行谐响应分析。通过分析得到了双渐开线齿轮极易发生共振的频率范围，并与普通渐开线齿轮的固有频率进行了对比。结果表明：双渐开线齿轮振动性能略好于渐开线齿轮，其振动幅度也略小于普通渐开线齿轮。
关键词：双渐开线齿轮；模态分析；谐响应分析；振动频率
中图分类号：TP29 文献标识码：B 文章编号：2095-509X(2019)05-0011-04

齿轮传动过程中不可避免会产生振动。谐响应分析主要用于确定线性结构在承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时的稳态响应，从而得到结构在几种频率下的频率-响应值曲线。从这些曲线上找到“峰值”响应，就能得到与观察到的峰值频率对应的应力，使设计人员能够预测结构的持续动力特性，验证设计是否克服共振、疲劳以及其他受迫振动引起的有害效果。
双渐开线齿轮在运转的过程中，传动轴极易产生周期性激振力F，F=F1sinθ，其中F1为施加载荷，当齿轮受到变载荷冲击时，极易产生变形和疲劳破坏，尤其是当激振力的频率与传递轴的固有频率相等时，其共振会对齿轮造成严重破坏，故有必要对双渐开线齿轮进行谐响应分析，以避免共振发生。

1 谐响应分析理论基础
在谐响应分析中，结构的载荷与响应被假定为简谐的，根据动力学方程可得：

F (t)=(F maxeiψ) eiωt=(F1+iF2) eiωt
（1）
X=(xmaxeiψ)eiωt=(x1+ix2) eiωt
（2）
式中：F和X为简谐矩阵，频率为ω，该频率与齿轮的激振频率、振动角频率的数值是相等的；eiωt为带有相位差的正弦运动，其中ω为激振频率，是指加载时产生的频率；ψ是指几个不同相位的载荷同时发生激振产生的力相位变换，相位角ψ允许不同相位的多个载荷同时作用，ψ缺省值为0；t为时间；Fmax为最大激振力；i为虚部；F1和F2为激振力；x1和x2〖WTBZ〗为位移。简谐振动的位移可表示为：
x=Acos(ωt)
（3）
或
y=Asin(ωt)
（4）

式中：A为振动位移的最大值，即振幅；ω为振动角频率或圆频率；ωt为相位角。
幅值与相位角和实部与虚部的关系为：

Freal=F0cos
（5）
Fimag=F0sin
（6）
F0=F2real+F2imag
（7）

式中：Freal为横向所受到的力；Fimag为纵向所受到的力；F0为受到的合力；为横向和纵向所受力的夹角。
将式（5）、（6）、（7）代入式（1）可得谐响应分析方程：

(-ω2 M+ iω C+K) (x1+x2)=F1+iF2
(8)
式中：K为刚度矩阵；M为质量矩阵；C为阻尼矩阵。其中K和M为定值，假设材料为线弹性条件，忽略非线性条件。

2双渐开线齿轮有限元模型
分阶式双渐开线齿轮是在总结渐开线齿轮和双圆弧齿轮的研究成果上提出的一种新型齿轮，其工作齿廓是由两条分阶布置的渐开线和连接着两条渐开线的齿腰过渡曲线组成，其齿顶与齿根两段渐开线齿廓呈阶梯式布置，端面齿廓如图

收稿日期：2017-10-10
作者简介：方志远（1992—），男，硕士研究生，主要研究方向为齿轮动力学， 1098796700@qq.com.

1所示。这种新型齿轮的啮合线是间断的，因此研究其振动特性的优劣，是评价双渐开线齿轮传动动态性能的重要依据。
通过三维软件建立双渐开线齿轮三维模型：将创建好的齿轮模型导入有限元分析软件中，进行材料属性定义、网格划分、接触对定义以及边界条件设定等，建立双渐开线齿轮有限元模型。双渐开线齿轮的具体参数见表1。
图1 双渐开线齿轮端面齿廓

表1 双渐开线齿轮参数表
参数名称 法面模数/mm 压力角/(°) 螺旋角/(°) 大齿轮齿数 小齿轮齿数 切向系数高度系数
取值 4 20 31.42 32 23 0.05 0.07

双渐开线齿轮的材料选取45钢，其弹性模量E为209GPa，泊松比μ为0.269，密度ρ为7 890kg/m3。材料变形按线弹性处理。

3 两种模态分析
为了得到齿轮在一个频率范围内的具体振动情况并得到各个方向的频率和振幅的关系，还需要在模态分析的基础上进行谐响应分析。在谐响应分析之前要做模态分析，其分析结果可以用来确定双渐开线齿轮的振动特性（包括固有频率和振型），也可以供动态载荷结构设计参考。在静止条件下，分别对双渐开线齿轮进行自由模态分析和约束模态分析，所得的分析数据见表2。

表2 自由模态与约束模态的固有频率对比
阶数 自由模态/Hz 约束模态/Hz
1 0 2 249.1
 2 0 6 582.1
 3 3.498 4×10-311 591
 4 0.845 44       12 884
 5 7.096 6  15 367
 6 12.166   19 228
 7 643.20   22 813
 8 1 144.2  24 723
 9 1 385.2  29 578
 10 2 042.0 31 193
 11 2 082.6 31 227
 12 2 243.6 32 972
 13 2 860.0 33 206
 14 2 941.5 33 277
 15 3 076.3 33 645

齿轮系统在传动过程中，当外界激励响应的频率与齿轮系统传动的固有频率相同时，会发生共振现象，从而对齿轮传动造成不利影响，因此应避免这种情况发生。双渐开线齿轮做自由模态分析计算时，可知前6阶模态均为刚体模态，即前6阶模态固有频率为零或接近零，从第7阶模态开始为结构模态。约束模态分析是指对双渐开线齿轮的主动轮和从动轮施加切向自由、轴向和法向固定约束后进行模态分析。从表2中可以看出，约束模态下固有频率最小值比自由模态大很多，并且其固有频率从第1阶开始逐渐增大。在前10阶范围内，约束模态的固有频率均大于相对应的自由模态的固有频率。但是随着阶数的增大，两者之间固有频率的差值越来越小。分析表明，约束模态的分析结果与实际情况更为接近，因此在分析时选用其固有频率即可。因为双渐开线齿轮在约束模态分析中的固有频率为2 249.1～33 645Hz，谐响应激振频率中最大值的取值范围应该比模态最大固有频率的值小50%，所以这里取频率范围为0～22 000Hz，间隔为100Hz，扭矩为200N/m。

4 双渐开线齿轮谐响应分析
在模态分析基础上，通过有限元软件ANSYS Workbench进行谐响应分析。以主动轮与轴相连的面为研究面，求解出分别在X,Y2个方向的位移与频率、应力与频率的响应关系曲线图，如图2、图3所示。因为在分析时对齿轮施加了X向、Y向的固定约束，仅保留了切线方向的约束，所以无Z向的动态响应。
以从动轮与轴相连的面为研究面，分别求解出X，Y2个方向的位移与频率、应力与频率的响应关系曲线图，如图4、图5所示。

图2 主动轮位移-频率曲线图

图3 主动轮应力-频率曲线图

图4 从动轮位移-频率曲线图

图5 从动轮应力-频率曲线图

从图2~图5可以看出，主动轮和从动轮的动态响应分别在X和Y两个方向。尽管主动轮和从动轮在对应的曲线上有区别，但是双渐开线齿轮在激励频率范围内，位移和应力均出现了峰值，并且在4 400.0Hz、5 586.7Hz、13 200Hz、19 067Hz这4个频率附近处的峰值较明显，即在第1阶（2 249.1Hz）与第2阶固有频率（6 582.1Hz）之间，第4阶固有频率（12 884Hz）、第6阶固有频率（19 228Hz）附近。第6阶固有频率附近有较大的峰值，在第4阶固有频率附近有较小的峰值，该实验结果验证了低阶频率比高阶频率对系统的振动特性影响大的理论。由此可知，双渐开线齿轮应避免在4400.0Hz、5 586.7Hz、13 200Hz、19 067Hz这4个频率附近工作。

本文对双渐开线齿轮进行了约束模态下的谐响应分析，并对齿轮的X，Y，Z向的固有频率进行分析，得到其频率的峰值，从而得到了双渐开线齿轮的振动特性。在研究过程中可以看出，约束模态分析的实验结果与实际更加接近，更能反映出齿轮在实际运行过程中的情况。由于双渐开线齿轮在实际运行过程中遇到的情况复杂，通常为几种振动叠加在一起，因此需要进行更加深入的研究。