非光滑平面运动刚体动力学建模与数值计算方法
                                                   王晓军，杨小斌，刘志军
                                     (常州工学院机械与车辆工程学院，江苏 常州〓213002)
    基于接触力学理论和线性互补问题的算法，给出了一种含接触、碰撞以及Coulomb干摩擦的平面运动刚体动力学的建模与数值计算方法。文中的摩擦力模型采用Coulomb干摩擦模型；考虑刚体模型在接触点的局部变形，用局部变形量与变形速度的非线性函数表示物体间的法向接触力；应用牛顿欧拉方法建立系统的动力学方程。为计算非光滑动力学方程，建立了摩擦定律的互补条件和互补关系式，并利用事件驱动法，将接触点黏滞与滑移运动状态切换的判断以及静摩擦力的计算转化成线性互补问题的求解。最后通过数值算例分析含摩擦与碰撞平面运动刚体的动力学特性，并验证了该算法的有效性。


    碰撞和摩擦是机械系统中普遍存在的现象，在建立机械系统动力学方程并通过数值仿真分析其动力学行为研究工作中，如何描述物体间接触或碰撞时的相互作用力是重要的问题之一。
    物体间接触或碰撞时的相互作用力通常可以分为法向接触力和切向接触力。法向接触力模型大体上可以分为线性模型和非线性模型两种，其中线性模型在某些情况下与实际存在一定的偏差，非线性模型多是基于Hertz接触力模型建立的［1］，并发展成为能考虑能量损失的较完善的模型。切向接触力亦即摩擦力，摩擦模型大体可以分为静态摩擦模型和动态摩擦模型，如Coulomb摩擦模型、黏性摩擦模型、Stribeck摩擦模型［2］、Dahl摩擦模型［3］以及鬃毛模型［4］ 。为避免计入摩擦模型引起的强非线性而导致其动力学方程难以求解，机械系统中广泛采用静态摩擦模型。其中Coulomb摩擦模型结构最简单，成为使用最广泛的摩擦模型［5-6］。Coulomb干摩擦模型能够反映摩擦的静-动态特性，但该模型是接触点相对速度的多值非连续函数，使得物体间接触点黏滞-滑移（stick-slip）状态切换的判断以及处于stick状态时摩擦力的计算成为非光滑动力学方程数值计算的一个难点。虽然修正的Coulomb摩擦模型作为相对速度的连续函数，能方便地进行数值计算，但不易反映摩擦的静动态特性［1］。
文献［7］研究了含间隙滑移铰机械系统的动力学建模与数值算法问题，该文献采用修正的Coulomb摩擦模型不能反映物块与滑道间的stick-slip现象。文献［8］~［10］采用的都是Coulomb干摩擦模型，针对干摩擦模型的不连续，文献［8］应用线性互补方法（LCP）、文献［9］应用线性互补方法和约束稳定化方法研究了含摩擦移动副的平面多体系统的动力学建模和数值计算方法，均较好地解决了摩擦力模型引起的黏滞-滑移的判断以及摩擦力的计算困难，但由于其前提是认为间隙充分小，因而无法反映铰链处的碰撞问题。文献［10］研究了车辆纵向非光滑多体系统的动力学模型与数值算法，通过建立车轮角加速度与滚阻力偶余量等多组互补条件，较好地解决了摩擦与滚阻的非光滑性。
文献［3］列举了Painlev'e疑难问题之一，即偏心圆盘在水平地面上运动时，Coulomb干摩擦模型与刚体模型会出现不协调且在某些参数情况下动力学方程会出现无解等问题。 针对该问题，本文采用如下方法：摩擦模型仍然采用Coulomb干摩擦模
〖CM(21*2〗型，研究对象仍然被视为刚体，但考虑接触点的局......

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基金项目：〖HTSS〗国家自然科学基金资助项目（11372018）；国家自然科学基金资助项目（11572018）；江苏省自然科学基金资助项目（BK20131140）
作者简介：王晓军（1970—），女，安徽合肥人，常州工学院副教授，硕士，主要研究方向为固体力学。





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