七支链Stewart并联机构位置正解的半解析算法

朱俊豪1，尤晶晶1,2，叶鹏达1

(1.南京林业大学机械电子工程学院，江苏 南京 210037）

(2.江苏省精密与微细制造技术重点实验室，江苏 南京 210016)

作者简介：〖HTSS〗朱俊豪（1996—），男，本科生，专业为机械设计制造及其自动化，zjhfantasy@foxmail.com.

摘要：设计了3种七支链并联机构，并提出了数值迭代与解析方法相结合的正运动学求解思路。引入辅助支链，推导出支链协调方程，再运用数值迭代方法由协调方程反求辅助支链的长度，并研究了数值迭代法初值偏差与迭代效率的关系。在求得辅助支链和实际支链长度的基础上提出一种全解析算法，通过消去高次项得到四组多元一次方程组，由四组多元一次方程组推导出动平台位姿唯一的解析表达式。通过虚拟试验对该半解析算法进行了验证，结果证明此算法具有准确、高效的特点。

关键词：冗余并联机构；正运动学；虚拟支链；半解析算法

中图分类号：TH112   文献标识码：A   文章编号：2095-509X(2019)07-0030-05

    近年来， 越来越多的国内外学者投身并联机构的研究。并联机构的运动学正解问题由于其在研究过程中的基础性地位，也受到了广泛关注［1-2］。Stewart平台作为一种应用最广泛的并联机构，它的运动学正解问题一直没有得到完善,本质原因是非线性多元高次方程组的求解十分困难。目前，较多的研究采用了数值法［3-4］，但数值法依赖初值，初值选取的不同对计算结果影响很大，且多数数值法及其改良版本计算效率较低，无法满足实际应用的需求。因此，如果能通过解析法得到封闭的解析表达式，将会是Stewart平台正运动学求解问题的一个重大突破。经过多年的研究，该工作已取得了较大的进展［5-9］，主要的手段是运用数学方法将正运动学方程转化为一元高次方程，但依然存在方程次数过高降次困难的问题，故而该类问题至今尚没有一个完美的解决办法。

    相较于传统的Stewart并联机构，冗余并联机构的研究还很缺乏。通过机构的冗余化，可以降低运动学正解求解的难度，这为研究Stewart平台提供了一条新的思路。但冗余支链越多，实际应用过程中支链长度控制的难度也越大。文献［10］提出了一种冗余6-DOF并联机构，并运用解析法与高阶迭代法结合的混解策略求解并联机构正解。文献［11］提出了一种12-6台体型冗余并联机构，并推导了正运动学全解析算法。

本文提出了3种七支链的Stewart并联机构，并且将正运动学求解问题分为两个部分。第一部分建立5根虚拟支链，根据支链长度的约束关系建立支链协调方程，进而由数值迭代方法得到虚拟支链的长度。第二部分提出一种全解析式正解算法，根据上一步得到的支链长度，通过运算求出并联机构动平台的位姿，该算法可得到唯一确定的全封闭的解析表达式。至此，该类机构的正运动学求解问题可得到较好的解决。

1 机构构型

    本文共提出3种七支链Stewart并联机构构型，它们的共同特点是机构的动平台和静平台之间通过7根支链相连，其中有1根为冗余支链。各支链其中的一端由球铰链与静平台链接，另一端由球铰链或复合球铰链与动平台链接。通过改变支链长度可实现对动平台位姿的控制。3种构型的区别是含有的二重复合球铰链个数的不同，分别为3,2,1个。动平台是边长为2n的正方体，支链初始长度为L，静平台是边长为2(n+L)的空壳装正方体。初始条件下，动平台位于静平台中心，且两者姿态相同。初始状态下的机构简图如图1所示，为了便于看清内部结构，静平台的3个面已经隐藏。

2 辅助机构的正运动学算法

研究此七支链并联机构时发现，其正运动学方程难以通过消元方法将高次项全部消去，求解困难。现添加5根辅助虚拟支链，形成一种具有高度对称性的十二支链构型，如图2所示。虚拟支链虽不存在于实际机构中，但可参与理论分析，且在理论分析时具有和实际支链相同的功用。

    将点P固结在动平台的中心,点P的笛卡尔坐标设为(x0,y0,z0),点Bi(i=1~6)的笛卡尔坐标设为(xi,yi,zi)。由于动平台尺寸和支链初始长度已知，则点bi(i=1~12)的坐标便固定下来。此辅助机构的正运动学求解即通过给定的12根支链的长度l1~l12，计算出动平台关键点B1,B2,B3,P的坐标。